CAPÍTULO N° 4: FUNCIONES

 

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Funciones: Definición tradicional, Definición de existencia y unicidad, Definición de las variables. Representación gráfica de las funciones. Clasificación de las funciones: función inyectiva; función sobreyectiva; función biyectiva. Función creciente. Función decreciente. Máximo de una función. Mínimo de una función. Función cónvcava. Función convexa. Punto de inflexión. Cómo determinar el dominio de una función. Funciones especiales: Función constante; Función identidad; Función proyección; Función canónica. Composición de funciones. Propiedades: Asociatividad de composición de funciones; Composición de funciones inyectivas; Composición de funciones sobreyectivas; Composición de funciones biyectivasFunción inversa. Teorema fundamental de las funciones inversas. Funciones Algebraicas y Trascendentes. La función lineal. La función cuadrática. Funciones Trascendentes. La función exponencial. La función logarítmica. comparación entre las funciones exponencial y logarítmica. Función definida a trozos. Trabajo Práctico N° 4

 

FUNCIONES

 

Definición 1

 

Sean los conjuntos A y B, se llama función a toda relación de A X B donde a cada elemento del conjunto A se lo relaciona con uno y sólo un elemento del conjunto B.-

Toda función se la denota con las siguientes letras: f, g, h, F, G, H,  etc.

 

Teniendo en cuenta la definición, podemos asegurar que si f es una función, entonces fÌ AXB, y se denota:

 

f: A®B    se lee “f es una función o aplicación del conjunto A en el B”

 

Por conveniencia, al conjunto A se lo denomina conjunto de partida, y al B  conjunto de llegada o codominio.-

Ahora como la función es una relación donde todos los elementos de A tienen imagen única, entonces el dominio de la función es el conjunto A, y la imagen de la función está incluida en el conjunto B. O sea:

 

A: conjunto de partida

B: conjunto de llegada o codominio.-

D(f)=A     “dominio de la función f”

I(f)ÌB      “Imagen de la función f”

 

Utilizando los diagramas de Venn se puede representar una función de la siguiente forma:

 

 

 

 

 

Analizando la anterior definición, podemos formular la siguiente:

 

Definición 2

 

La relación  fÌAXB es una función si cumple con las siguientes condiciones de existencia y unicidad:

Existencia

Todo elemento de A se relaciona con algún elemento de B

"xÎA,$yÎB/(x,y)Îf

Unicidad

Los elementos de A tienen una sola imagen en B

(x,y)Îf Ù (x,z)Îf Þ y = z

 

Definición 3

 

Se llama función a toda relación entre dos variables, en la que a todo valor de la primera, lo relaciona con uno y solo un valor de la segunda. A la primera variable se la denomina "variable independiente" y a la segunda "variable dependiente"

 

Si la función es y = f(x),  la variable "x" es la independiente y la "y" es la dependiente (los valores de "y" dependen de los valores de "x").-

 

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES

 

Toda función, al ser una relación especial, se la puede representar gráficamente en un sistema de ejes coordenados cartesianos. Pero para ello se debe tener en cuenta fundamentalmente los conjuntos numéricos donde están definidas y el método a usar para su gráfica.-

 

El método de la tabla de valores

Este método se lo usa para graficar cualquier tipo de funciones, aunque en algunos casos no es preciso.

Por ejemplo:

 

Graficar las siguientes funciones:

 

Armamos una tabla con valores tentativos y centrales de las abscisas, y de la siguiente forma:

x

f(x)=2x – 1

Punto

-2

f(-2)=2.(-2).2-1 = -5

P1(-2,-5)

-1

f(-3)=2.(-1)-1= -3

P2(-1,-3)

0

f(0)=2.0-1=-1

P3(0, -1)

1

f(1)=2.1-1=1

P4(1, 1)

2

f(2)=2.2-1=3

P5(2, 3)

 

 

1.     El método de los puntos:

Este método tiene distintas formas de trabajarlo según el tipo de función:

Para la función lineal

Se basa fundamentalmente en ubicar la pendiente de la función. Para ello se utiliza su concepto. Por ejemplo:

Sea la función:

Como se observa, la pendiente es , y como se sabe que ésta está dada por , entonces se concluye que el cateto opuesto es 3 y el cateto adyacente es 4. Por otro lado también se sabe que –1 es la ordenada al origen, lo que lo marcamos, ahora, a partir de allí se debe correr 4 lugares hacia la derecha (cateto adyacente), y como 3 es positivo subimos estos lugares (cateto opuesto), este es el último punto, y como dos puntos pertenecen a una y sólo una recta, entonces, por estos se la traza, o sea:

Ahora si la pendiente fuera negativa, la tangente también lo sería, por lo tanto el cateto opuesto se lo trazaría hacia abajo.-

 

Para la función cuadrática

 

La función cuadrática tiene la forma:

Donde  se llama término cuadrático, “a” coeficiente cuadrático,  término lineal, “b” coeficiente lineal y c término independiente u ordenada al origen.-

La gráfica de una función cuadrática es una parábola simétrica respecto al eje paralelo a las ordenadas y que pasa por el vértice.-

Para poderla graficarla se deben trazar tres puntos. Este es principalmente el vértice que lo denotaremos V(xv , yv), lo que se reduce el problema en determinar xv primero y luego reemplazarlo en la función para el yv.-

Usando la fórmula para determinar las raíces de una ecuación de segundo grado, o sea:

Haciendo un razonamiento básico, concluimos que:

 

 

Como ya se dijo, basta reemplazar este valor en la función para obtener la otra coordenada.-

Teniendo en cuenta que es simétrica, y sabiendo que la parábola corta a las ordenadas en “c”, entonces otro de los puntos es P1(0,c), el otro punto será P2(2.xv, c).-

Si la función tiene la ordenada al origen nula, se deben tomar dos valores cualesquiera  de las abscisas para calcular las ordenadas correspondientes.-

Por ejemplo:

 

Determinamos primero el vértice, o sea:

 

Reemplazamos este valor en la función para obtener la otra coordenada, o sea:

Lo que significa que:

Ahora, el punto P1(0,1) por ser 1 la ordenada al origen, y el otro será:

Ahora con estos tres puntos se puede graficar:

 

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

 

Analizando la definición de funciones, se puede llegar a concluir que para clasificarlas a las mismas se debe tener en cuenta el codominio, así tenemos:

 

FUNCIÓN INYECTIVA

 

f:A®B es inyectiva si y sólo si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. O sea:

 

 

Ahora, por implicaciones contrarrecíprocas se tiene:

 

 

Esto significa que para poder probar que una función es inyectiva, basta igualar la ecuación de la misma para x1 y x2  y a través de procedimientos, el que sea necesario, llegar a la igualdad de ellos.-

 

Ejemplo:

Sea la función:

Hacemos:

y cancelando, queda:

y simplificando queda:

Esta función es inyectiva.

 Applets en Wiris

 

FUNCIÓN SOBREYECTIVA O SURYECTIVA

 

f:A®B es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del Codominio tienen preimagen. O sea:

 

 

Esto significa que para determinar si una función es sobreyectiva se deben estudiar los elementos del dominio en lo que respecta al conjunto, despejando de la función dada x y valuando luego en la función para determinar si realmente f(x)=y.-

Por ejemplo sea:

Esta función es lo mismo que:

Ahora: ¿este valor es un número real? Sí ya que y es un real y los otros números también lo son, por lo tanto xÎÂ, entonces:

Todo esto es aplicando la propiedad cancelativa y reemplazando “x”. Esta función es Sobreyectiva.-

 

FUNCIÓN BIYECTIVA

 

Una función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.

 

 

CONCLUSIÓN:

 

Haciendo un análisis sobre la clasificación de las funciones, podemos concluir que:

1.     Una función puede ser inyectiva, solamente

2.     Una función puede ser sobreyectiva, solamente

3.     Una función puede ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

4.     Una función puede no ser inyectiva ni sobreyectiva

 

 

FUNCIÓN CRECIENTE

La función y=f(x) es creciente en el intervalo (a, b), si para valores mayores del intervalo, la función toma valores mayores.

 

 

FUNCIÓN DECRECIENTE

La función y=f(x) es decreciente en el intervalo (a, b), si para valores mayores del intervalo, la función toma valores menores.


MÁXIMO DE UNA FUNCIÓN

La función y=f(x) presenta un máximo en x0Î(a,b), si la función en x0 es mayor que la función en cualquier otro valor de dicho intervalo.

 

MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN

La función y=f(x) presenta un mínimo en x0Î(a,b), si la función en x0 es menor que la función  en cualquier otro valor de dicho intervalo.

 

 

FUNCIÓN CÓNCAVA

Una función y=f(x) es cóncava en el intervalo (a,b) si los puntos de la misma están por arriba de los puntos de la tangente a curva en un punto interior de dicho intervalo.

 

 

FUNCIÓN CONVEXA

Una función y=f(x) es convexa en el intervalo (a,b) si los puntos de la misma están por debajo de los puntos de la tangente a la curva en un punto cualquiera de dicho intervalo.

 

PUNTO DE INFLEXIÓN DE UNA  FUNCIÓN

Una función y=f(x) presenta un punto de inflexión en x0 Î(a,b) si la función en ese punto cambia la concavidad.

 

 

CÓMO DETERMINAR EL DOMINIO REAL DE UNA FUNCIÓN REAL

A fin determinar el dominio de una función, se tienen en cuenta tres reglas denominadas “Reglas fundamentales del cálculo”. Estas son:

 

REGLA 1: Toda división por cero no es un número real

 

Esta regla es fundamental, dado que, pensando en el dominio perteneciente en los números reales, la división por cero no tiene cociente real, es imaginario, por lo tanto, si un valor que pueda tomar la variable diese un resultado dividido en cero, la función no tendría imagen en ese punto, lo que nos obligaría a exceptuarlo. Por ejemplo:

 

Sea

Observamos que para esta función que para x=1 quedaría el denominador anulado, ese resultado no es un número real, por lo que para que esta expresión sea función, el dominio no debe tener el 1 dado que este valor no tiene imagen (ver applet conWiris Desktop). O sea que:

 

 

REGLA 2: El logaritmo de un número menor o igual a cero no es un número real

 

Esta regla nace tiendo en cuenta el cálculo del logaritmo, es así que, si en una función el argumento del logaritmo tiene variable independiente, este argumento debe ser mayor que cero para la función tenga imagen en ese valor. Por ejemplo:

 

Teniendo en cuenta lo expresado anteriormente, queda que 3x – 2>0, por lo que , con lo que todos los valores inferiores a este, quedan fuera del dominio de esta función (ver applet conWiris Desktop). O sea que:

 

REGLA 3: Toda raíz de índice par y radicando negativo, no es un número real

 

Como se sabe, esta regla es clara, por lo que cuando se tenga una función donde figure una raíz y en el radicando se encuentre la variable independiente, se debe tener en cuenta que el radicando no debe ser negativo, dado que este valor no tendría una imagen real, con lo que se lo debe exceptuar del dominio (ver applet conWiris Desktop). Por ejemplo:

 

 

Con esta función, tenemos que tener en cuenta que el radicando 3x - 10, con lo que , lo que los valores menores a este quedarían exceptuados del dominio ya que los mismos no tendrían imagen real. O sea que:

 

FUNCIONES ESPECIALES

 

FUNCIÓN CONSTANTE

 

La función f:A®B se llama constante si para todo elemento del dominio, le hace corresponder como imagen un único elemento “K” del codominio.

O sea que:

 

Su gráfica será una recta que corta a las ordenadas en k y siempre paralela al eje de las abscisas. O sea:

 

 

Trabajando con los números reales observamos que elementos distintos del conjunto de partida o dominio tienen siempre la misma imagen k, por lo tanto no es inyectiva. Por otro lado, de todos los elementos del codominio, solamente k tiene preimagen, por lo tanto no es sobreyectiva.-

Ahora, esta función puede tener otra forma, por ejemplo x=k, su gráfica cortará al eje de las abscisa en k y será paralela a las ordenadas.-

 

LA FUNCIÓN IDENTIDAD

La función identidad es aquella a la que a todo elemento del dominio le hace corresponder como imagen ese mismo elemento, o sea:

Esta se lee “identidad de x”

O sea que si aÎAÞ i(a)=a, y así para todos los valores de A. En diagrama de Venn será:

A

 

Haciendo un estudio de esta función se tiene que:

·          La función es inyectiva ya que cada uno de los elementos del dominio es imagen de sí mismo, y ellos son distintos.

·          La función es sobreyectiva ya que todos los elementos del dominio también son imagen.-

·          Como conclusión podemos decir que esta función es biyectiva.-

  

LA FUNCIÓN PROYECCIÓN

Sea el conjunto R, sean los conjuntos AÌR y BÌR. Sea el producto cartesiano AxB, en donde un punto cualquiera P(a,b) pueden determinarse dos funciones llamadas proyecciones de la siguiente manera:

Gráficamente:

LA FUNCIÓN CANÓNICA

Sea una relación de equivalencia “~ definida en un conjunto A, por supuesto a partir de ella se generan las clases de equivalencias y el conjunto cociente.

Se llama función canónica a aquella definida desde el conjunto A hasta el conjunto cociente, de tal manera que a cada elemento del conjunto A le hace corresponder la clase a la que pertenece. O sea:

 

Esta función es sobreyectiva, ya que todos los elementos del conjunto cociente (clases de equivalencias), tienen algún antecedente en el conjunto A, pero no es inyectiva ya que varios elementos de A tienen la misma imagen en el conjunto cociente.-

 

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Sean dos funciones, f:A®B Ù g:B®C, se llama composición de las funciones f y g a la función gof:A®C/gof(x)=g[f(x)], siempre que exista un elemento yÎB tal que y=f(x), y z=g(y), con zÎC y xÎA, o sea:

 

 

 

 

Applets en Wiris de composición de dos funciones

 

PROPIEDADES

 

ASOCIATIVIDAD DE LAS COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

 

La composición de funciones es asociativa.

 

H) Sean las funciones

                   

T)

 

D) Como la composición de funciones está definida sólo para tres conjuntos, o dos funciones, debemos trabajar estas para poder aplicar dicha definición para las tres funciones. Para ello desarrollamos ambos miembros de la igualdad de la tesis:

 

Esto es  aplicado la definición de composición de funciones a gof, y luego a ho{g[f(x)]}

 

Ahora:

 

Esto es aplicando la definición de composición en la operación principal y luego en la secundaria.-

Ahora, de (a) y (b), y por transitividad se tiene:

 

ho(gof)=(hog)of

 

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES INYECTIVAS

 

La composición de funciones inyectivas es inyectiva

 

H) Sea f:A®B Ù g:B®C inyectivas

T) gof:A®C es inyectiva

 

D) Teniendo en cuenta que y=f(x) es inyectiva, entonces:

 

 Pero por otro lado z=g(y) también es inyectiva, entonces:

 

Ahora:

Pero por definición de composición se tiene:

 

Pero g es inyectiva, entonces las variables de g son iguales, entonces:

Pero f es inyectiva, entonces:

\  gof:A®C es inyectiva (por definición de inyectividad).-

 

 

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES SOBREYECTIVAS

 

La composición de funciones sobreyectivas, es sobreyectiva

 

H) Sea f:A®B Ù g:B®C sobreyectivas

T) gof:A®C es sobreyectiva

 

D) Como y=f(x) es sobreyectiva, entonces:

 

 Además z=g(y) es sobreyectiva, entonces:

 

 

Ahora, teniendo en cuenta la composición de funciones y por hipótesis y por las aseveraciones hechas anteriormente, tenemos:

Pero,  por definición de composición de funciones, lo que se tiene que

Luego

gof:A®C es sobreyectiva

 

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES BIYECTIVAS

 

La composición de funciones biyectivas, es biyectiva

 

H) Sea f:A®B Ù g:B®C biyectivas

T) gof:A®C es biyectiva

 

D) Por definición, una función es biyectiva solamente si es inyectiva y sobreyectiva, y teniendo en cuenta las demostraciones de composición de funciones inyectivas y composición de funciones sobreyectivas, se demuestra esta propiedad.-

 

FUNCIÓN INVERSA

 

Definición:

 

Una función f: A®B, admite inversa si y sólo si existe una función g:B®A de modo que gof=iA Ù fog=iB, y la función g es la inversa de la función f.-

 

Si f es la función, la inversa de f se denota con f -1 .-

 

Por ejemplo:

 

Sea

Como y=f(x) entonces despejamos x, se tiene:

 

     (1)

Esta es la función inversa, que cambiando la variable x por f-1(x) e y por x queda:

 

Ahora, si ésta es la función inversa tiene que cumplir con las condiciones establecidas por la definición. Para ello partamos de la expresión (1), o sea:

 

Reemplazando a f(x) se tiene:

 

Por otro lado se tiene:


Y reemplazando g(y) se tiene:

 

 

Lo que significa que la función inversa de f es:

 

 
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS

 

Con este teorema se pretende simplificar la determinación si una función admite inversa, utilizando la clasificación de funciones.-

 

TEOREMA

 

Una función admite inversa si y sólo si es biyectiva

 

f:A®B admite inversa Û es biyectiva

 

Para demostrar este teorema, debemos desdoblar la doble implicación, o sea

 

H) f:A®B admite inversa

T) f es biyectiva

 

D) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos hacerlo teniendo en cuenta que si la función es biyectiva, entonces es inyectiva y sobreyectiva

Por otro lado, como la función admite inversa (hipótesis), entonces:

gof(x)=iA(x)=x   además    fog(y)=iB(y)=y

 

Hacemos:

Pero como admite inversa, entonces:

Y por definición de identidad, se tiene:

 

Lo que significa que es INYECTIVA (2)

 

Ahora:

 

Pero por la propiedad asociativa de la composición de funciones, queda:

 

Y aplicando la definición de composición, se tiene:

 

Pero f(x)=y, entonces:

 

Y por hipótesis esta última composición es la iB, lo que significa:

 

Esto demuestra que la función f es SOBREYECTIVA (3)

 

Luego, de (2) y (3), la función f es BIYECTIVA (por definición de función biyectiva)

 

 

Demostremos ahora la segunda parte:

 

H) f:A®B es biyectiva

T) f admite inversa

 

D) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos encontrar una función g:B®A, siempre que exista f:A®B de tal forma que x=g(y), si y=f(x).-

 

Ahora, para que g sea función debe cumplir con las condiciones de existencia y unicidad.-

 

Bajo las condiciones descriptas anteriormente, como f es biyectiva, y en particular sobreyectiva, entonces todos los elementos de B tienen antecedente en A por f, lo que significa que todos los elementos de B tienen imagen en A por g (existencia).

Por otro lado, como f es inyectiva, entonces distintos elementos de A tienen imagen distinta en B por f, lo que significa que por g, los elementos de B tienen una y sólo una imagen (unicidad).

Luego g:A®B es función

 

Ahora como f y g son funciones, podemos hacer la composición de ellas y obtener una conclusión:

 

Pero por lo dicho anteriormente y=f(x), entonces:

Por la misma razón que la anterior x=g(y), entonces

 

Por otro lado se tiene:

 

Pero por lo dicho anteriormente x=g(y), entonces:

 

Por la misma razón que la anterior y=f(x), entonces

 

Luego la función f admite inversa, y es la función g

 

Habiendo demostrado estas dos partes, quedó demostrado el teorema.-

 

 

Con este teorema, dada una función, con tan sólo estudiar si es que es biyectiva, sabremos que admite inversa, por ejemplo:

 

 

Probemos que esta función es inyectiva, o sea:

 

Ahora probemos que es sobreyectiva:

Para demostrar, debemos despejar x de la función, o sea:

 

Aplicando la definición de función sobreyectiva, se tiene:

 

 

Hemos probado que esta función es biyectiva, por lo tanto admite inversa (atento al teorema fundamental de las funciones inversas). Pero ahora debemos determinar esta función inversa, o sea:

 

De acuerdo a lo que se trabajó:

 

Siendo ésta la función inversa, o sea:

 

Applets con Wiris de función inversa

 

FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

 

Definición:

 

Una función es ALGEBRAICA, si las operaciones de la expresión son algebraicas, caso contrario se llaman TRASCENDENTES (trascienden el campo del álgebra)

 

FUNCIONES ALGEBRAICAS

 

LA FUNCIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO

 

La función f:A®B es lineal o de primer grado, si su expresión algebraica de una sola variable es de primer grado, y tiene la forma:

Donde:

y se llama variable dependiente

x se denomina variable independiente

m se denomina pendiente

mx se denomina término lineal

b se denomina término independiente

 

La gráfica de esta función es una recta que donde el punto P(0,b) pertenece a ella, por ello b se denomina también ordenada al origen. O sea:

 

De acuerdo a la gráfica de la función podemos concluir que

 

Lo que significa que la pendiente m es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con la horizontal o el eje de las abscisas, o sea:

m=tg a

 

Ahora, haciendo un estudio de la tangente, observamos que ésta es positiva si el ángulo está comprendido en el primer cuadrante, o sea cuando la recta va desde el 3º al 1º cuadrante, o sea cuando los valores de la función crecen al crecer los valor de la variable. La tangente es negativa cuando el ángulo es mayor que  y menor que 2p, que es en el caso en el que la gráfica de la función va desde el 2º al 4º cuadrante, o sea cuando los valores de que la función decrecen si crecen los de la variable. Las siguientes gráficas corresponden a las funciones lineales.

 

 

 

         

 

Si se está trabajando con los números Reales, El dominio de esta función son los reales y la imagen también los reales, o sea que la función lineal está definida de los reales a los reales:

D(f)=R                                         I(f)=R

 

Esta función es inyectiva, ya que para valores distinto del conjunto de los reales, la función toma valores distintos, y es sobreyectiva ya que todos los números reales tienen preimágen por esta función, lo que significa que esta función es Biyectiva.

Ahora, teniendo en cuenta el teorema fundamental de las funciones inversas, la función lineal admite inversa, y se la determina despejando la variable x, o sea:

 

y cambiando las variables tenemos la forma de la función inversa de la lineal:

 

 Applets con GeoGebra de una función lineal positiva

Applets con GeoGebra de una función lineal negativa

LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO

 

Se llama función cuadrática a aquella cuya expresión algebraica en una sola variable es de gado dos.

La función cuadrática tiene la forma:

 

Con a¹0

Donde:

 

y es la variable dependiente

x la variable independiente

a.x2 es el término cuadrático

a es el coeficiente cuadrático

b.x es el término lineal

b es el coeficiente lineal

c es el término independiente

 

Dado que el cuadrado de números opuestos es siempre positivo, la gráfica de esta función es una parábola, cuyas ramas estarán para el lado positivo del eje de las ordenadas si a es positivo, caso contrario si a es negativo.-

O sea que:

Función positiva Þ las ramas de la parábola hacia la parte positiva del eje de las ordenadas

Función negativa Þ las ramas de la parábola hacia la parte negativa del eje de las ordenadas

 

Supongamos que la gráfica de la función  es la siguiente:

 

 

 Ahora, los ceros de esta función, son los valores de “x” donde la función toma el valor cero, que son ni más ni menos, que los puntos  de corte entre la gráfica de la función y el eje de las abscisas, que en la gráfica las muestra con x1 y x2. En definitiva, y en realidad, estos valores son las raíces de la ecuación cuadrática, las que cumplen con lo siguiente:

  Para pode graficar la función cuadrática, es imprescindible determinar el vértice de la misma, que es el punto donde cambiará el crecimiento la función y justamente esta vértice es punto del eje de simetría y los ceros de la función son puntos simétricos axialmente con respecto al eje de simetría, lo que significa que:

 

Pero la semisuma del primer miembro es el valor de “x” que corresponde al vértice, entonces

La siguiente gráfica es de la función:

Ahora, el:

 

La recta roja es el “eje de simetría” que pasa por el xV, esto significa que los puntos de la parábola que se encuentran a la misma altura y opuestos con respecto a este eje son simétricos axialmente.-

Ahora, como el xv es punto del eje de simetría, observamos que el corrimiento de la parábola en forma horizontal depende de los signos de loa valores de los coeficientes cuadrático y lineal, sabiendo que si xv>0, la parábola se corre hacia la derecha con respecto a las ordenadas, si xv=0, el eje de simetría son las ordenadas, y si xv<0, la parábola se corre hacia la izquierda respecto al eje de las ordenadas. O sea:

 

O sea que:

 

Eje y es el eje de simetría si x=0, solamente se da si b=0

 

Además la parábola corta a las ordenada en c, ya que P(0,c) pertenece a la parábola

La gráfica de la función dada es la siguiente:

 

Los puntos de corte de la función con el eje de las abscisas son los denominados ceros de la función, o sea que es el valor que toma “x” para que y=0

 

Estudiemos ahora la función:

 

De antemano podemos asegurar que la parábola está corrida hacia la derecha, corta al eje de las ordenadas en    –2 y

Esto significa que V(1, -5)

La gráfica de esta función es:

 

 

Ahora, el dominio de esta función son todos los reales, y la imagen son los reales partiendo del yv inclusive.-

 

Ya que esta función no es biyectiva, entonces no admite inversa, solamente en algunos casos y bajo algunas condiciones.-

 

Applets con Wiris de la función cuadrática

 

DOS FUNCIONES TRASCENDENTES

 

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

 

Se llama función exponencial a la función:

 

 a>0 Ù a¹1

Dada las condiciones anteriormente mencionadas, tenemos dos casos posibles:

 

1.     Que a>1, por ejemplo f(x)=2x, cuya gráfica es la siguiente:

La característica de esta función es que  es creciente, corta a las ordenadas en 1 y el eje de las abscisas es asíntota a la curva. El dominio son los reales, y la imagen los reales positivos.-

 

 

2.     Cuando 0<a<1, por ejemplo:

 

Cuya gráfica es:

 La función es decreciente, corta al eje de las ordenadas en 1, el eje de las abscisas es asíntota a la curva, el Dominio son los reales y la Imagen lo reales positivos.-

Si clasificamos la función exponencial observamos que bajo las condiciones planteadas ésta es biyectiva ya que es inyectiva porque para valores distintos de los reales, la función tiene imágenes distintas; y es sobreyectiva por que todos los elementos del conjunto de llegada, o sea los reales positivos, tienen preimágenes.-

 

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

 

Como la función exponencial es biyectiva, entonces admite inversa.-

 

Recordemos primero qué es el logaritmo de un número:

 

Lo que significa que calcular el logaritmo en base “a” de un número “b”, es encontrar el exponente “c” a la que hay que elevar la base para obtener el argumento “b”.

 

Así por ejemplo, log3 81= 4, ya que 34=81.-

 

Con esta idea, y partiendo de la función exponencial se tiene:

 

O sea que la función logarítmica está dada por:

 

Como esta función es la inversa de la exponencial y la base a es también la base de la exponencial, entonces se dan los siguientes casos:

Para a>1, por ejemplo: f(x)=log2 x tiene la siguiente gráfica:

 

Observamos que la gráfica es creciente, corta a las abscisas en 1 y el eje de las ordenadas es asíntota de la curva. Por otro lado el dominio son los reales positivos y la imagen todos los reales.-

Probemos para el caso de que 0<a<1, por ejemplo:

 

La gráfica de esta función es:

La función es decreciente, corta al eje de las abscisas en 1, y el eje de las ordenadas es asíntota de la curva. Por otro lado, el dominio son los reales positivos y la imagen todos los reales.-

 

Para el caso de que a=1 (base 1), no queda definida la función logarítmica.-

 

 

COMPARACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA LOGARÍTMICA

 

Construiremos las gráficas de las siguientes funciones:

 

                                 

En estos casos, la gráfica azul es para la primera, y la verde para la segunda, lo que a simple vista observamos que son gráficas simétricas respecto a la diagonal que pasa por el origen de coordenadas, lo que nos indica que estas son funciones inversas.-

 

 

Haremos el mismo razonamiento para el caso de:

 

                                 

 

FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS

En matemáticas, una función definida a trozos (también conocida como función por partes) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).

Por ejemplo:

 

 

TRABAJO PRÁCTICO Nº 4

 

1. Dada las siguientes funciones, graficarlas:

 

Gráfica de la función f(x)=x + ln x con Wiris

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Gráfica de la función f:R-->R/f(x)=sig(x) con Wiris

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Gráfica de la función f:R+-->R/f(x)=log 2.x con GeoGebra

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Gráfica de la función f:R-->R/f(x)=(5x+3)^(1/3) con GeoGebra

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Gráfica de la función f:R-->R/f(x)=3x2-3x+6 con Maxima

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Gráfica de la función con el software Maxima

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2.     Sean los conjuntos A={1,2,3} y B={2,3}, representar y clasificar

3.     Dado A={1,2,3} y B={2,3}, definir por tabla y clasificar f:P(A)®P(B)/f(X)=B – X.

4.     En los siguientes casos, determinar gof:

5.     Las funciones f:A®B y g:B®C son tales que gof es sobreyectiva. Demostrar que g es sobreyectiva.

6.     Clasificar las siguientes funciones:

7.     Sean las funciones f:Z®Q y g:Q®Z, tales que:

  y

 

Encontrar fog y gof y calcular gof(-2) y fog(-0,5)

 

8.     Graficar las siguientes funciones realizando el estudio correspondiente:

9.     Determinar el dominio dentro de los reales de las siguientes funciones:

 10.   Dada las gráficas de las siguientes funciones, determinar con que dominio son inyectivas:

 

 

 

11.  Determinar la función inversa de cada de las siguientes funciones